Formalismo de Smoluchowski en espacios curvos

Abstract

En este trabajo se presenta un marco teórico para la descripción de la dinámica de partículas coloidales en espacios curvos a través de una formulación covariante de la ecuación de Smoluchowski, derivada a partir de la ecuación de Langevin para muchos cuerpos en una variedad Riemanniana. Posteriormente, se estudia de manera general la dinámica de un sistema coloidal a tiempos cortos, dicho análisis hace evidente un acoplamiento entre factores geométricos y de interacción entre partículas en la solución a las ecuaciones de movimiento. Para sistemas muy diluidos el desplazamiento cuadrático medio se reduce a la expresión para la difusión de una sola partícula en un espacio curvo. Adicionalmente, se deriva una jerarquía de ecuaciones para la obtención de la ecuación de Smoluchowski covariante para la densidad de probabilidad de una sola partícula. Esta última expresión resulta ser una ecuación integrodiferencial en la cual es posible identificar claramente las contribuciones energéticas y entrópicas a la dinámica, así como las contribuciones emergentes de la geometría del espacio. Finalmente, se emplea la ecuación de movimiento para la densidad de una partícula en el estudio de procesos de difusión en una superficie de dimensión 2. Al considerar que las partículas interactuaban a través de un potencial de corto alcance fue posible derivar una expresión para la presión en este sistema termodinámico.